Tư Duy Chiến Lược

Chương 10 về tranh cử, thứ tự mà các ứng viên được xem xét có thể xác định quyết định cuối cùng. Theo cách này, một quyết định thông qua bởi một hội đồng phụ thuộc vào may rủi đến mức không thể hứa trước rằng với cùng đầu vào họ sẽ đạt được cùng một quyết định. Sự bất lực của hội đồng để cam kết bản thân đưa ra những quyết định hợp lý khiến lời đe dọa “nhận lấy không thì đi” trở nên đáng tin, Một lời đề nghị có giá trị ngày hôm nay nhưng không chắc sẽ vẫn còn giá trị vào ngày hôm sau sẽ ngăn cản người ta đi “khảo giá”. Các cửa hàng thiết bị nghe nhìn stereo và các đại lý xe hơi sử dụng chiến thuật này rất có hiệu quả. Những người bán hàng này đã làm thế nào để những lời đe doạ của họ, rằng những gì họ chấp nhận ngày hôm nay có thể sẽ bị từ chối ngày mai trở thành đáng tin? Câu trả lời là việc kinh doanh có thể khá lên và vấn đề tiền mặt sẽ bớt nặng nề hơn. Như người ta vẫn thích nói, đây là cơ hội duy nhất trong đời.

171 BÀI TẬP TÌNH HUỐNG SỐ 6: BẠN CÓ MUỐN THUÊ MÁY TÍNH IBM KHÔNG? Sau một cuộc chiến kéo dài trên 12 năm, vụ kiện giữa nước Mỹ và Công ty IBM đã trở thành một sự kiện “ngứa mắt” không thể quên trong lịch sử chống độc quyền. Một trong số nhiều vân đề ở đày là chính sách của IBM cho thuê thay vì bán các máy tính chủ. Chính phủ khẳng định rằng việc IBM tập trung vào cho thuê ngắn hạn đã tạo ra rào cản gia nhập đốì với thị trường và kết quả là công ty này thu về lợi nhuận độc quyền. IBM bảo vệ hoạt động của mình và cho rằng đó là vì lợi ích của người tiêu dùng. Họ tranh luận rằng việc cho thuê ngắn hạn bảo vệ khách hàng khỏi nguy cơ máy tính trở nên lạc hậu và cho họ một sự linh hoạt khi nhu cầu thay đổi, đồng thời đưa ra cam kết rằng IBM sẽ bảo trì thiết bị cho thuê (bởi vì họ chịu trách nhiệm về hoạt động của các máy tính cho thuê) và cung cấp nguồn tài chính dồi dào từ chính công ty. Nhiều người cho rằng đó là một lời biện hộ thuyết phục. Thực ra ở đây có một lợi thế chiến lược trong việc cho thuê mà có vẻ như cả hai bên đều không nhận thấy. Bạn dự tính giá cả sẽ khác đi thế nào nếu như IBM chỉ bán các máy tính chủ lớn của mình mà không cho thuê nữa? THẢO LUẬN Ngay cả một công ty không có đối thủ bên ngoài cũng cần phải lo lắng về sự cạnh tranh với tương lai của chính mình. Khi một máy tính mới được giới thiệu ra thị trường, IBM có thể bán những chiếc đầu tiên với giá rất cao cho những khách hàng luôn sốt sắng với công nghệ tiên tiến. Một khi loại máy tính đó đã được tung ra với số lượng lớn thì sẽ có một sự cám dỗ hạ giá để lôi kéo thêm nhiều khách hàng nữa. Chi phí chủ yếu để sản xuất máy tính đã thực chi trong quá trình phát triển sản phẩm. Cho nên mỗi sản phẩm bán thêm đều là một món lợi lớn. Chính đây là chỗ của vấn đề. Nếu khách hàng dự tính rằng IBM sẽ hạ giá, họ sẽ chờ đợi để mua giá rẻ. Khi số đông khách hàng chỉ chờ, IBM có động cơ để tăng tốc việc giảm giá và giành lấy khách hàng càng sớm càng tốt. Ý tưởng này được nêu ra lần đầu tiên bởi giáo sư luật học Ronald Coase của trường Đại học Chicago, rằng đối với hàng hóa lâu bền, trên thực tế một nhà độc quyền phải cạnh tranh với chính minh trong tương lai theo cách khiến cho thị trường trở nên cạnh tranh hơn.

172 Cho thuê là một phương tiện cam kết giúp cho IBM giữ được mức giá cao. Các hợp đồng cho thuê sẽ khiến cho việc IBM hạ giá trở nên tốn kém hơn rất nhiều. Khi máy của họ được cho thuê trong ngắn hạn, bất kỳ một hành động giảm giá nào cũng đều ảnh hưởng đến tất cả các khách hàng chứ không chỉ đến những người chưa kịp mua máy. Thiệt hại trong thu nhập từ cơ sở khách hàng hiện tại có thể còn nhiều hơn cả lợi nhuận từ cho thuê mới. Ngược lại khi các khách hàng hiện tại sở hữu máy tính của IBM thì sự đánh đổi này sẽ không phát sinh bởi vì những người đã mua máy tính giá cao không được hoàn lại tiền nữa. Như vậy, cho thuê là một ví dụ cho chiến lược đi từng bước nhỏ. Các bước ở đây là thời gian cho thuê. Thuê thời gian càng ngắn thì bước đi càng nhỏ. Các khách hàng không nghĩ rằng IBM sẽ giữ mức giá cao khi các bước đi quá lớn. Họ do vậy sẽ chờ giá giảm và mua vẫn chiếc máy tính đó - muộn hơn một chút nhưng lại được giá rẻ hơn. Nhưng nếu IBM chỉ cho thuê với những hợp đồng ngắn hạn và có thể được gia hạn lại, khi đó có thể tin tưởng rằng họ sẽ duy trì mức giá cao. Khách hàng chẳng có lý do để chờ đợi nữa và IBM sẽ thu được lợi nhuận cao hơn. Là các giáo sư trường đại học và là đồng tác giả cuốn sách này, chúng tôi cũng gặp phải vấn đề tương tự trong một lĩnh vực rất gần gũi với mình là thị trường sách giáo khoa. Nếu như có thể cam kết thì các nhà xuất bản có thể tăng lợi nhuận bằng cách đưa ra những ấn bản sách giáo khoa mới cứ năm năm một lần thay vì ba năm như thường thầy. Tuổi thọ của sách lâu hơn sẽ làm tăng giá trị của sách trên thị trường sách đã qua sử dụng và do vậy cũng làm tăng mức độ sốt sắng của sinh viên trả tiền để mua sách mới. Vân đề là ở chỗ một khi nhận thấy các sách đã qua sử dụng được bán lại, nhà xuất bản có động cơ giảm bớt sự cạnh tranh này bằng cách đưa ra ấn bản mới. Bởi vì mọi người đều dự tính điều này sẽ xảy ra nên sinh viên sẽ chỉ bán được các cuốn sách dùng rồi với giá rẻ hơn, do vậy họ cũng không mặn mà với việc trả tiền để mua sách mới nữa. Giải pháp đối với nhà xuất bản cũng giống như với IBM: cho thuê sách thay vì bán chúng.

173 7. TÍNH BẤT ĐOÁN Tại giải thi đấu vô địch bóng chày Liên đoàn quốc gia năm 1986, đội Mets của New York đã thắng trận đấu quan trọng với Astros của Houston khi Len Dykstra đỡ trúng cú ném bóng thứ hai của Dave Smith ở hiệp đâu thứ chín. Hai người chơi sau đó đã trao đổi lại về những gì đã xảy ra. Dykstra nói: anh ấy ném nhanh cho tôi torng lần đầu tiên và tôi đã đỡ trượt. Tôi có linh cảm là anh ấy sẽ ném bổng sau đó và đúng là anh ấy đã làm như vậy. Tôi đỡ cú ném bóng chính xác và ghi điểm. Còn theo Smith thì “Nói ngắn gọn thì đây là một lựa chọn tồi”. Nói như vậy anh ta có ý rằng Dykstra đoán như vậy bởi vì cú đầu tiên là bóng nhanh nên Smith sẽ thay đổi tốc độ, “Nếu tôi được làm lại điều đó một lần nữa, đó sẽ là một cú ném nhanh nữa”. Liệu lần sau khi tình huống tương tự nảy sinh Smith có nên áp dụng chiến lược ném nhanh nữa không? Tất nhiên là không. Người đập bóng có thể nhìn xuyên qua được bước suy nghĩ này của Smith và sẽ trù tính cho một cú ném nhanh, Nhưng khi đó Smith cần phải chuyển sang bước suy nghĩ tiếp theo để ném bổng và cứ tiếp tục như vậy. Không có điểm dừng xác định nào cho quá trình này. Người đập có thể nhìn xuyên qua và khai thác bất kỳ một suy nghĩ và hành động có hệ thông nào của người ném bóng và ngược lại. Chỉ có một cách khôn ngoan đối với cả hai bên là hành động một cách bất đoán. Trong những tình huống này, một lỗi cổ điển trong tư duy chiến lược là tin rằng bạn có thể đoán trước bước đi của đối thủ đơn giản bằng cách đặt mình vào địa vị của anh ta. Chúng ta có thể thấy lỗi này trong cuốn sách Mùa hè năm 1949 của David Halberstam khi ông mô tả hành vi nhận thức chiến lược của cậu bé mười bảy tuổi Ted Williams. Giống như rất nhiều các cậu bé chơi bóng khác, Williams có vấn đề với các cú ném bóng. Cậu không bao giờ sẵn sàng với chúng. Một lần người ném bóng đã gạt cậu ra ngoài bằng cú ném hình vòng cung. Williams tức giận với chính mình, cậu bỏ về chỗ ngồi của mình bên ngoài sân. Một trong số những tay ném bóng đội San Diego, một cựu đội trưởng hét to lên với cậu: “Ề cậu bé, cậu thua vì cái gì vậy?”; “À, cú ném chậm hình vòng cung chết tiệt” - Williams trả lời. “Thế cậu có đập được quả ném nhanh của hắn không?”; “Chắc chắn là được” - Williams trả lời. “Cậu nghĩ lần sau hắn sẽ làm gì với cậu?” - Tay ném bóng hỏi. Ngừng một lát. Ted Williams chưa bao giờ nghĩ đến chuyện ném bóng cho Ted Williams — đó là điều mà những người ném bóng phải làm. “Một cú ném hình

174 vòng cung”, cậu trả lời. “Ê cậu bé ”, tay ném bóng nói, “Tại sao cậu không ra đó và chờ cú ném đó lần sau?” Williams đã làm như vậy và đánh trúng quả bóng trên đường chạy về. Và 25 năm nghiên cứu về tư duy của người ném bóng đã bắt đầu như thế. Rõ ràng là người ném bóng đã không học được sự cần thiết phải hành động theo một cách không thể đoán trước. Nhưng cả Williams cũng vậy, bởi vì nếu người ném nghĩ đến chuyện phải ném bóng cho Williams như thế nào thì cậu sẽ không ném bóng hình vòng cung khi cậu nhận ra rằng Williams đã dự tính đúng như vậy! Chương này sẽ cho thấy cần phải tính toán như thế nào khi cả hai bên đều cố gắng tỏ ra khôn ngoan hơn đối phương. Mặc dù bạn không thể đoán đúng trong mọi trường hợp, ít nhất bạn cũng có thể nhận ra được sự thiên lệch giữa các lựa chọn. Biết tính toán và đáp trả một cách chính xác tính bất đoán còn hữu ích trong nhiều tình huống khác bên ngoài sân bóng. Tính bất đoán là yếu tố quan trọng của chiến lược trong bất kỳ lúc nào khi một bên muốn có sự trùng hợp của các hành động, trong khi bên kia cố tránh điều đó. Cơ quan kiểm toán thuế muốn kiểm tra đúng những người trốn thuế trong khi những người gian lận thuế luôn hy vọng sẽ tránh được kiểm toán. Giữa trẻ con với nhau, đứa lớn luôn muốn tránh đứa nhỏ lẽo đẽo bám theo trong khi đứa nhỏ luôn tìm cách đi theo từng bước của anh chị nó. Một đội quân xâm lược muốn có được một sự bất ngờ mưu lược khi chọn địa điểm tấn công; trong khi đội quân phòng thủ muốn tập trung lực lượng vào đúng nơi mà cuộc tấn công xảy ra. Những người trang trí nội thất cho các câu lạc bộ đêm, các nhà hàng, tiệm may quần áo và gian trưng bày nghệ thuật đều muốn có sự độc đáo. Quần chúng lại muốn bắt chước những người khởi xướng ra mốt. Cuối cùng thì người ta cũng tìm đến đúng chỗ. Nhưng trước đó mọi người đã đi khắp cả những nơi khác rồi. Điều này giải thích tại sao đời sống của các câu lạc bộ đêm thường rất ngắn. Một khi nó thành công, sẽ có rất nhiều người muốn đến đó. Điều này khiến những người đi tiên phong về mốt bỏ đi và bắt đầu một cái gì đó mới ở nơi khác. Như Yogi Berra nói, “Chỗ này đông quá, rồi sẽ chẳng còn ai đến đây nữa”. Trong khi lựa chọn cú ném của người chơi bóng chày hay lựa chọn người để kiểm tra của Cơ quan kiểm toán thuế trong mọi trường hợp là không thể đoán trước, có một số quy tắc điều khiển sự lựa chọn này. Mức độ của sự bất đoán không nên để hoàn toàn ngẫu nhiên. Trên thực tế sự thiên lệch khi chọn cú ném kiểu này nhiều hơn so với kiểu khác hay chọn người để kiểm toán có thể được xác định một cách chính xác từ những chi tiết cụ thể của trò chơi. “Mặc dù nghe

175 có vẻ là một sự điên rồ nhưng đúng là có một cấch để làm như vậy Chúng tôi sẽ giải thích phương pháp này ở đây.

176 LÀM CHẨN SỐ LẺ NHƯ THẾ NÀO? Nhiều người trong số các bạn hẳn còn nhớ một trò chơi từ hồi đi học gọi là “oẳn tù tì” hoặc “khớp ngón tay”. Trong cuộc thi này, một người chơi sẽ chọn chẵn và người chơi kia sẽ là lẻ. Khi đếm từ một đến ba (hoặc oẳn tù tì), cả hai người sẽ đồng thời xòe một hoặc hai ngón tay ra. Nêu tổng số ngón tay của cả hai người chìa ra là chẵn thì người chọn chẵn sẽ thắng. Còn khi tổng số ngón tay là lẻ thì người chơi lẻ sẽ thắng. Giả sử người thua phải trả cho người thắng 1 đô la. Chúng ta có thể lập bảng thắng thua tương quan với các lựa chọn chiến lược như sau: Sẽ không có điểm cân bằng trong trò chơi này nếu hai người chơi không hành động một cách ngẫu nhiên. Hãy hình dung rằng bên lẻ lúc nào cũng chắc chắn chỉ chơi với một ngón tay. Bên chẵn khi đó cũng sẽ luôn chỉ ra một ngón tay. Bây giờ ta lật ngược lại logic. Bởi vì người chọn số lẻ biết chắc rằng đối phương luôn xòe ra một ngón tay nên anh ta sẽ chọn xòe ra hai ngón tay. Điều này dẫn đến là người chọn số chẵn đáp lại bằng cách cũng ra hai ngón. Trong trường hợp này, người lẻ lại ra một ngón, Chúng ta quay trở lại chỗ chúng ta bắt đầu và ở đây không có điểm nào để kết thúc cho suy luận vòng tròn như thế này. Một cách dễ dàng để kiểm tra xem có cần sự ngẫu nhiên không là xem liệu có hại gì không khi để cho đối phương nhìn thấy bước đi của bạn trước khi anh ta đi

177 bước trả lời. Khi cần có tính bất đoán thì đi trước sẽ là bất lợi. Hãy nghĩ xem điều gì sẽ xảy ra trong trò chơi oẳn tù tì nếu bạn phải đi trước: bạn sẽ cầm chắc thua. Không phải bất kỳ sự ngẫu nhiên nào cũng như nhau. Giả sử bên lẻ chọn xòe một ngón tay trong 75% thời gian và hai ngón tay trong 25% thời gian còn lại. Khi đó bên chẵn bằng cách luôn đưa ra một ngón tay có thể thắng trong 75% thời gian và trung bình sẽ nhận được 0.75xl+0.25x(-l)=0.5 đô la sau mỗi cuộc chơi. Tương tự nếu chọn hai bên chẵn sẽ mất trung bình 0.5 đô la cho mỗi lần chơi. Do vậy bên chẵn sẽ chọn một. Nhưng khi đó bên lẻ lại chọn hai chứ không theo tỷ lệ 75:25 nữa. Tỷ lệ hỗn hợp trên sẽ không còn trụ được cho đến những vòng suy luận sau về chiến lược của bên đối phương nữa. Nói cách khác, có một mô hình cân bằng của sự ngẫu nhiên và nó cần phải được tính toán ra. Trong ví dụ này, toàn bộ tình huống là đối xứng nên tỷ lệ cân bằng cần phải là 50:50 đốì với mỗi người chơi. Chúng ta sẽ thử như sau. Nếu bên lẻ chọn một và hai thường xuyên như nhau thì bên chẵn sẽ thắng 0.5xl+0.5x(-l) = 0 trung bình mỗi trận, dù anh ta chơi 1 hay 2. Do đó anh ta cũng sẽ thắng 0 đô la nếu anh ta chọn tỷ lệ lựa chọn 50:50. Lập luận này ngược lại cũng đúng. Như vậy là tỷ lệ lựa chọn 50:50 là câu trả lời tối ưu của những người chơi đối với nhau, nghĩa là đó là điểm cân bằng. Tên gọi của giải pháp này là điểm cân bằng “chiến lược hỗn hợp”, phản ánh sự cần thiết pha trộn các nước đi của những người chơi theo một cách ngẫu nhiên. Tỷ lệ hỗn hợp cân bằng trong những tình huống tổng quát không hiển nhiên là cân xứng tuyệt đối như vậy, Tuy nhiên, vẫn có một số quy tắc đơn giản để tính được tỷ lệ đó. Chúng tôi sẽ phát triển các quy tắc này thông qua trò chơi quần vợt.

178 AI MUỐN CHƠI QUẦN VỢT? Một trong những bài học chiến lược đầu tiên của quần vợt là không cho thấy rõ hướng đón bóng cho đến phần giây cuối cùng có thể. Bằng không đối phương sẽ khai thác sự phán đoán của bạn và đánh bóng theo hướng khác. Nhưng ngay cà khi không thể quan sát được bước đi của đối phương thì việc dự đoán bước đi đó cũng mang lại một lợi thế lớn. Nếu người giao bóng luôn luôn đánh bóng bên trái thì người đỡ bóng sẽ chuẩn bị sẵn để di chuyển sang hướng đó và sẽ đỡ quả giao bóng hiệu quả hơn. Người giao bóng do vậy cố gắng trở nên bất đoán để không cho đối phương đoán được mục tiêu của mình lần thứ hai. Ngược lại, người đỡ bóng không nên ưu tiên cho bất kỳ bên nào khi đi bước đầu tiên của mình. Không giống trò chơi khớp ngón tay, những người chơi không thể coi tính bất đoán chẵn lẻ như nhau. Những người chơi có thể cải thiện kết quả của mình bằng cách chơi nhiều hơn ở một bên một cách có hệ thống, mặc dù vẫn theo cách không thể dự đoán trước. Để cụ thể hơn, hãy hình dung một cặp đấu với những kỹ năng xác định. Người đỡ bóng chơi vợt bên phải có vẻ khá hơn. Nếu anh ta đoán đúng hướng bóng, khả năng vợt phải của anh ta có thể thành công đến 90%, trong khi khả năng vợt trái nếu đoán đúng chỉ thành công 60%. Tất nhiên người đỡ bóng sẽ còn khó khăn hơn nếu dự đoán sai hướng bóng. Nếu anh ta định đỡ bóng bên trái trong khi người giao bóng đánh sang phải thì khả nãng kịp chuyển hướng và đỡ thành công chỉ là 30%. Nếu theo hướng ngược lại, cơ hội của anh ta chỉ còn 20%. Chúng ta có thể biểu diễn tất cả qua bảng dưới đây: Người giao bóng muốn giữ cho tỷ lệ cú đỡ thành công càng thấp càng tốt; người đỡ bóng thì muốn điều hoàn toàn ngược lại. Trước trận đấu, hai bên đã chọn kế hoạch chơi cho mình. Đâu sẽ là chiến lược tôi ưu cho mỗi bên ? Nếu người giao bóng luôn hướng các cú bóng của mình sang phải, người đỡ bóng sẽ chuẩn bị sẵn để thuận tay vợt bên đó và đỡ thành công 90%. Còn nếu người giao

179 bóng luôn đánh sang trái, người đỡ bóng cũng sẽ chuẩn bị đợi bên tương ứng và sẽ đỡ thành công 60% cú giao bóng. Chỉ có thể bằng cách đánh hỗn hợp hướng bóng người giao bóng mới có thể giảm bớt tính hiệu quả của người đỡ bóng. Anh ta để cho người đỡ bóng phải đoán và do vậy sẽ không thể lợi dụng ưu thế bằng cách đứng đúng tư thế thích hợp từ trước. Giả sử rằng người giao bóng búng đồng xu trước mỗi lần giao bóng và sẽ hướng bóng sang bên trái hay bên phải tuỳ theo đồng xu lật sâp hay lật ngửa. Bây giờ hãy xem điều gì xảy ra khi người đỡ bóng di chuyển đến vị trí bên phải. Dự đoán này sẽ chỉ đúng trong một nửa thời gian. Khi đoán đúng, khả năng đỡ thành công là 90% trong khi nếu đoán sai, tỷ lệ thành công rớt xuống chỉ còn 20%. Tỷ lệ thành công chung của anh ta là (1/2)90% + (1/2)20% = 55%. Lập luận tương Cự, một bước sang bên trái dẫn đến tỷ lệ thành công chung cuộc của anh ta là (1/2)60% + (1/2)30% = 45%. Với quy tắc tỷ lệ hỗn hợp 50:50 của người giao bóng, người đỡ bóng chọn cách tốt nhất từ phía mình. Anh ta cần phải di chuyển sang phải và tỷ lệ phần trăm đỡ bóng thành công là 55%. Đối với người giao bóng đó cũng đã là một tiến bộ so với kết quả anh ta có được khi chỉ luôn chơi về một bên. Để so sánh, chúng ta hãy nhớ lại tỷ lệ thành công tương ứng của người đỡ bóng là 90% hoặc 60% khi người giao hóng chỉ luôn nhằm vào bên phải hoặc bên trái. Câu hỏi hiển nhiên tiếp theo sẽ là vậy thì tỷ lệ hỗn hợp nào sẽ là tổì ưu đối với người giao bóng? Để trả lời, chúng ta sẽ thể hiện kết quả mà các tỷ lệ chơi hỗn hợp khác nhau mang lại trong bảng dưới đây. Tỷ lệ thời gian người giao bóng nhằm sang bên phải được biểu diễn trên đường nằm ngang từ 0 đến 100%, Đối với mỗi tỷ lệ hỗn hợp, một trong hai đường thẳng trên hình vẽ sẽ cho thấy tỷ lệ thành công của người đỡ bóng khi anh ta chuẩn bị di chuyển sang phải; còn đường thẳng kia là tỷ lệ thành công khi anh ta chuẩn bị di chuyển sang bên trái. Chẳng hạn nếu người đỡ bóng chuẩn bị di chuyển sang phải, chiến lược giao bóng 0% bên phải (tức là 100% bên trái) sẽ cho tỷ lệ thành công của người đỡ bóng là 20%, trong khi chiến lược giao bóng 100% bên phải (0% bên trái) sẽ cho phép tỷ lệ thành công tăng lên 90%. Tỷ lệ thành công của người đỡ bóng tăng dần từ điểm đầu đến điểm cuối dọc theo đường thẳng đó.

180 Hai đường thẳng sẽ cắt nhau tại một điểm chính là nơi người giao bóng chọn đánh bóng sang phải trong 40% thời gian, về phía trái điểm này, người đỡ bóng sẽ đạt kết quả khá hơn nếu luôn chuẩn bị tư thế cho quả giao bóng sang trái; về phía phải điểm này, anh ta sẽ khá hơn nếu luôn chuẩn bị cho quả giao bóng sang phải. Tỷ lệ hỗn hợp 40:60 giữa bên phải và bên trái là tỷ lệ duy nhât mà người đỡ bóng không thể khai thác để giành lợi thế về mình theo cách này. Chỉ có trong trường hợp giao bóng với tỷ lệ hỗn hợp này người đỡ bóng mới luôn có kết quả như nhau bất kể lựa chọn của anh ta là trái hay phải, cả hai lựa chọn này đều mang lại cho anh ta một tỷ lệ thành công là 48%. Bất kỳ tỷ lệ hỗn hợp nào khác, nếu được khai thác đúng, sẽ cho người đỡ bóng một tỷ lệ thành công nằm ở các phần đường thẳng phía trên của cả hai đường và do đó đều lớn hơn 48%. Như vậy tỷ lệ hỗn hợp với 40% giao bóng sang phải sẽ là lựa chọn tối ưu đối với người giao bóng. Tỷ lệ hỗn hợp chính xác giữa các lựa chọn phụ thuộc vào kết quả của bốn kết hợp các cặp hành động cơ bản. Đối với những người chơi có những thế mạnh tuyệt đối và tương đối khác nhau, các con số (ở đây là 90, 60, 30 và 20) sẽ là khác nhau và do đó các tỷ lệ hỗn hợp tối ưu để áp dụng cũng khác. Chúng ta sắp thấy một số kết quả rất đáng ngạc nhiên khi làm những thay đổi như vậy. Điều mấu chốt ở đây đơn giản là bạn sẽ phải tìm ra được tỷ lệ hỗn hợp tối ưu cho mình bằng cách đánh giá bốn kết quả cơ sở cho trò chơi thực tế mà bạn đang chơi, Có một cách đi tắt: bạn có thể tính được chiến lược cân bằng mà không cần phải vẽ sơ đồ như trên. Phương pháp số hạt đơn giản này là của J.D. Williams.

181 Quay trở lại với bảng kết quả cơ sở. Đối với người giao bóng, lấy mục tiêu của anh ta là chiến lược đánh bên phải và tìm sự khác nhau giữa kết quả thu được đổì với hai lựa chọn của người đỡ bóng; chúng ta có 90 - 30 = 60. Cũng làm như thế cho chiến lược đánh bên trái: 60 - 20 = 40. Cấc con số theo thứ tự ngược lại chính là tỷ lệ tối ưu cho áp dụng hỗn hợp giữa hai chiến lược.1 Do vậy người giao bóng sẽ phải nhằm sang phải hoặc sang trái theo tỷ lệ 40:60. Bây giờ hãy xem xét cũng trò chơi đó nhưng trên quan điểm của người đỡ bóng. Hình dưới đây là bảng các kết quả thu được trên cơ sở lựa chọn của người đỡ bóng. Nếu quả giao bóng bay về hướng trái của anh ta thì việc di chuyển sang trái sẽ cho cơ hội đánh trả thành công đến 60% trong khi di chuyển sang phải chỉ cho cơ hội thành công 20% mà thôi. Chúng ta sẽ thay đổi tỷ lệ di chuyển sang phải từ 0% đến 100% trên một đường thẳng giữa hai điểm này. Tương tự chúng ta sẽ có đường thẳng cao dần từ điểm 30 đến điểm 90 khi người giao bóng nhằm đánh sang bên phải. Hai đường này gặp nhau ở một điểm chính là khi người đỡ bóng di chuyển sang hướng phải 30% thời gian và tỷ lệ thành công của anh ta luôn là 48% bất kể người giao bóng đánh về bên nào. Một cách khác chúng ta có thể áp dụng phương pháp Williams. Lập bảng tương tự như trên, chúng ta có được hiệu số giữa các kết quả của hai lựa chọn của người đỡ bóng. Đối với bước di chuyển sang phải chúng ta có 90 - 20 = 70; đối với bước di chuyển sang trái, 60 - 30 = 30. Tỷ lệ hỗn hợp tối ưu sẽ theo thứ tự ngược lại: 30% thời gian hãy chuẩn bị đánh sang phải, 70% kia là sang trái. Bạn có thể đã nhận thấy một đặc điểm thú vị của những tỷ lệ hỗn hợp được tính toán trên các quan điểm riêng rẽ của hai người chơi. Cả hai đều cho một tỷ lệ thành công như nhau là 48%. sử dụng tỷ lệ hỗn hợp tốt nhất của mình, người đỡ bóng có thể thắng người giao bóng với một tỷ lệ đúng bằng tỷ lệ thắng đạt được nếu người giao bóng cũng sử dụng tỷ lệ hỗn hợp tối ưu của mình. Đây không phải là sự trùng

182 hợp mà là đặc tính chung của tất cả các trò chơi với hai người chơi có lợi ích tuyệt đối ngược nhau. Kết quả này, được gọi là định lý tối thiểu - tốì đa (min-max) do các nhà toán học trước đây của trường Princeton là John von Neumann và Oscar Morgenstern đưa ra. Định lý này nói rằng trong các trò chơi có tổng lợi ích bằng không, trong đó lợi ích của những người chơi là hoàn toàn đối lập (nghĩa là một bên thắng, bên kia thua), một người chơi sè phải cố gáng tối thiểu hóa mức thu hoạch tối đa của đối phương trong khi đối phương cố gắng tối đa hóa mức thu hoạch tối thiểu của mình. Khi họ làm như vậy kết quả thu được là đáng ngạc nhiên ở chỗ tối thiểu của thu hoạch tốì đa (min￾max) sẽ đúng bằng tối đa của thu hoạch tối thiểu (max-min). Không bên nào có thể cải thiện hơn vị thế của mình và do vậy các chiến lược này đã hình thành điểm cân bằng của trò chơi. Chúng ta dùng quần vợt để minh họa lập luận khi mỗi người chơi chỉ có hai chiến lược lựa chọn. Nếu người giao bóng tìm cách tối thiểu hóa tỷ lệ thành công tốì đa của người đỡ bóng, anh ta cần phải hành động như thể người đỡ bóng đã đoán đúng chiến lược hỗn hợp của anh ta và đáp trả theo cách tối ưu của mình. Nghĩa là tỷ lệ thành công của người đỡ bóng sẽ là tối đa của hai đường thẳng ở hình dưới. Tối thiểu của tối. đa sẽ xảy ra ở chính nơi hai đường thẳng giao nhau, đó chính là tỷ lệ 48%. Tiếp theo chúng ta sẽ xem xét vấn đề từ phía người đỡ bóng; anh ta đang cố gắng tối đa hóa thu hoạch tối thiểu của mình. Nếu người đỡ bóng di chuyển sang phải và sang trái với mức độ thường xuyên như nhau thì đường biểu diễn thu hoạch của anh ta sẽ là mức trung bình cộng của hai đường thẳng ban đầu, được vẽ bằng đường chấm trong hình vẽ bên dưới. Bởi vì đường này có hướng đi lên nên điểm tôi thiểu của nó sẽ nằm bên trái, tại điểm có tỷ lệ thành công là 40%. Không quan trọng là người đỡ bóng áp dụng tỷ lệ hỗn hợp nào, đường thẳng này sẽ luôn đi qua điểm 48% bởi vì người giao bóng đã lựa chọn áp dụng tỷ lệ hỗn hợp 40:60. Chỉ cần đường thẳng là nghiêng, một trong hai đầu của đường thẳng sẽ rơi xuống dưới 48%. Chỉ khi người

183 đỡ bóng áp dụng tỷ lệ hỗn hợp 30:70 thì đường thẳng mới nằm ngang hoàn toàn và mức tốì thiểu lúc này là 48%. Do vậy, tối thiểu của tối đa đúng bằng tối đa của tối thiểu - 48%. Chứng minh tổng quát của định lý min max là khá phức tạp, nhưng kết luận của nó thì rất hữu ích và đáng để bạn ghi nhớ. Nếu tất cả những gì bạn muốn biết là thắng của một bên hoặc thua của bên kia khi hai người cùng chơi với các chiến lược hỗn hợp tối ưu của mình, bạn chỉ cần tính tọán tỷ lệ hỗn hợp tối ưu cho một người và sẽ xác định được kết quả. Các công cụ khác của chúng tôi, phương pháp của Williams và các đồ thị này có thể áp dụng cho bất kỳ trò chơi nào có tổng lợi ích bằng không với hai người chơi và mỗi người có hai lựa chọn chiến lược. Tuy nhiên,, nó không thể áp dụng cho các trò chơi khác có tổng lợi ích khác không hoặc có nhiều hơn hai người chơi, hay mỗi người chơi có nhiều hơn hai lựa chọn chiến lược. Các nhà kinh tế học và toán học đã phát triển những kỹ thuật tổng quát hơn, thí dụ như lập trình tuyến tính để giải ra các chiến lược cân bằng thậm chí cho cả những trò chơi có tổng lợi ích bằng không phức tạp nhât. Mặc dù các kỹ thuật này nằm ngoài phạm vi cuốn sách của chúng tôi nhưng chúng ta vẫn có thể sử dụng các kết quả của chúng. Một đặc điểm chung của tất cả các điểm cân bằng trong chiến lược hỗn hợp là mỗi người chơi đều không quan tâm đến chiến lược anh ta sử dụng trong tình huống cân bằng. Khi cần phải chơi hỗn hợp, cách để tìm ra tỷ lệ hỗn hợp cân bằng cho bạn chính là hành động sao cho những người khác không cần quan tâm đến hành động của mình. Mặc dù điều này nghe có vẻ hơi ngược đời, nó rất phù hợp với động cơ để ngẫu nhiên hóa trong trò chơi có tổng lợi ích bằng không: bạn muốn ngăn cản những người khác khai thác bất kỳ một hành vi có hệ thống nào của mình. Nếu họ thiên về một hành động cụ thể nào đó thì điều đó chỉ có nghĩa là họ đã chọn cách chơi tồi nhất trên quan điểm của bạn.

184 Tại điểm này chúng tôi đã giải thích các lợi thế, thậm chí là sự cần thiết mang tính chiến lược của việc áp dụng các chiến lược hỗn hợp và ngẫu nhiên. Ý tưởng cơ bản ở đây là người ta thường viện đến ngẫu nhiên như một công cụ để khiến đối thủ của bạn không khai thác được bất kỳ hành vì có hệ thống nào của bạn. Chuyển ý tưởng này thành thực tiễn khó hơn đôi chút. Năm phần sau đây sẽ giống như một cuốn cẩm nang hướng dẫn nhỏ cho bạn khi sử dụng các chiến lược hỗn hợp.

185 Vì SAO BẠN CẦN CHỌN TỶ LỆ HỖN HỢP ĐÚNG? Nếu biết được rằng một người chơi đang theo đuổi một cách đi khác - không phải chiến lược hỗn hợp ngẫu nhiên cân bằng, người chơi kia có thể khai thác điều này sao cho có lợi hơn cho mình, Trong ví dụ về quần vợt, người đỡ bóng có thể đạt được tỷ lệ thành công 48% khi người giao bóng đi theo chiến lược cân bằng với tỷ lệ hỗn hợp là 40% sang phải và 60% sang trái, Người đỡ bóng sẽ giành kết quả tốt hơn nếu người giao bóng chơi theo bất kỳ một chiến lược hỗn hợp nào khác. Chẳng hạn nếu người giao bóng ngờ nghệch kia chỉ nhằm vào bên trái là bên yếu hơn của người đỡ bóng thì người đỡ bóng có thể đón sẵn ở đó và cải thiện tỷ lệ thành công của mình đến 60%. Nói chung, nếu người đỡ bóng đã biết người giao bóng và biết chắc chắn các điểm yếu của anh ta thì người đỡ bóng có thể phản